Ajustes Locales: LOESS y STL

5.1 LOESS — Regresión Localmente Estimada

LOESS (Locally Estimated Scatterplot Smoothing) es un método no paramétrico que estima la tendencia $T_t$ ajustando un polinomio local en cada punto del tiempo, usando únicamente las observaciones vecinas dentro de una ventana.

La idea central

Para estimar $T_{t_0}$ en el punto $t_0$:

• Se selecciona una fracción $\alpha$ (span) de los datos más cercanos a $t_0$.
• Se calculan pesos para cada observación mediante el kernel tricúbico. Definiendo la distancia relativa $u_t = (t - t_0)\,/\,d(t_0)$, donde $d(t_0)$ es la distancia euclidiana al $\lceil \alpha n \rceil$-ésimo vecino más cercano de $t_0$, los pesos son:

$w(u_t) = \bigl(1 - |u_t|^3\bigr)^3 \cdot \mathbf{1}\!\left[|u_t| < 1\right]$

El kernel garantiza $w = 1$ en $t = t_0$, decaimiento suave hasta $w = 0$ en el borde de la ventana, y peso nulo fuera de ella.

• Se minimiza la suma de cuadrados ponderada — es decir, se resuelve un problema de mínimos cuadrados ponderados (WLS) localmente en $t_0$:

$\hat{\boldsymbol{\beta}}(t_0) = \arg\min_{\boldsymbol{\beta}} \sum_{t=1}^{n} w(u_t)\left(Y_t - \sum_{j=0}^{d} \beta_j\, t^j\right)^{\!2}$

con $d \in \{1, 2\}$ (parámetro degree en R).

• $\hat{T}_{t_0} = \hat{\beta}_0(t_0)$ — el valor ajustado del polinomio local evaluado en el punto $t_0$ mismo. El proceso se repite para cada $t_0 \in \{1, \ldots, n\}$.

El parámetro span (α)

El parámetro $\alpha \in (0, 1]$ controla el suavizamiento:

5.2 Ejemplo — LOESS sobre AirPassengers

Aplicamos LOESS a AirPassengers para estimar la tendencia de largo plazo, comparando distintos valores de span. Al trabajar con la serie completa (incluyendo estacionalidad), un span pequeño "sigue" también los picos estacionales — por eso se recomienda trabajar sobre la serie previamente suavizada o usar STL (sección 5.3).

5.3 Descomposición STL

STL (Seasonal-Trend decomposition using LOESS), propuesto por Cleveland et al. (1990), descompone la serie en tres componentes aditivas usando LOESS de forma iterativa:

$Y_t = T_t + S_t + R_t$

donde $T_t$ es la tendencia estimada por LOESS de largo plazo, $S_t$ es la componente estacional (periódica con periodo $s$, con restricción $\sum_{j=1}^s S_{t-s+j} = 0$ en cada ciclo completo para garantizar identificabilidad) y $R_t = Y_t - T_t - S_t$ es el residuo o componente irregular.

Algoritmo de STL (versión simplificada)

1. Inicializar: se parte de una tendencia inicial (media móvil centrada de orden $s$).
2. Loop interno (inner loop):
   • Remover la tendencia: $Y_t - T_t$.
   • Para cada estación $i$, agrupar las observaciones de la misma estación a lo largo de los años y suavizarlas con LOESS (ventana s.window).
   • Normalizar la estacionalidad para que sume cero en cada periodo.
   • Remover la estacionalidad: $Y_t - S_t$ y suavizar con LOESS de largo plazo (ventana t.window) para obtener $T_t$ actualizada.
3. Loop externo (outer loop): calcula pesos robustos basados en los residuos para reducir la influencia de valores atípicos.
4. Repetir hasta convergencia.

5.4 Ejemplo — STL sobre co2 (Mauna Loa)

El dataset co2 es ideal para STL: tiene una tendencia creciente y un patrón estacional anual muy regular. STL separa ambas con precisión, dejando un residuo muy pequeño. El código también calcula la fuerza estacional $F_s$ y la fuerza de tendencia $F_t$: miden qué fracción de la varianza total explica cada componente.

5.5 Comparación: modelos globales vs ajustes locales

| Criterio | Modelos globales (Mód. 2–4) | LOESS / STL | |---|---|---| | Interpretabilidad | Alta — coeficientes con significado | Baja — sin ecuación cerrada | | Flexibilidad | Limitada por el grado elegido | Alta — se adapta a cambios locales | | Estacionalidad cambiante | No captura cambios | Sí (con s.window numérico) | | Pronóstico | Directo (ecuación) | Requiere método adicional (ETS/ARIMA) | | Sensibilidad a atípicos | Moderada | Robusta (con outer loop) | | Uso recomendado | Estacionalidad estable, interpretación | Análisis exploratorio, estacionalidad cambiante |