Modelos de Estacionalidad Determinística

3.1 Estacionalidad con variables indicadoras (dummies)

Cuando el patrón estacional es regular y se repite idénticamente de año en año, lo modelamos con un conjunto de variables binarias —una por cada período del año, excepto uno que sirve de referencia. Para una serie con periodo $s$, se definen $s - 1$ variables indicadoras:

$I_{i,t} = \begin{cases} 1 & \text{si en } t \text{ se observa la estación } i \\ 0 & \text{en otro caso} \end{cases} \quad (i = 1, \ldots, s-1)$

La estación $s$ actúa como categoría de referencia. La componente estacional queda:

$S_t = \sum_{i=1}^{s-1} \delta_i I_{i,t}$

El modelo estacional completo (con nivel constante, sin tendencia) es:

$Y_t = \mu + \sum_{i=1}^{s-1} \delta_i \, I_{i,t} + E_t, \quad E_t \overset{\text{iid}}{\sim} N(0, \sigma^2)$

donde $\mu = \beta_0$ es el nivel medio de la estación de referencia, y cada $\delta_i$ mide la desviación del nivel medio de la estación $i$ respecto a esa referencia. Al incorporar tendencia polinomial en el Módulo 4, $\mu$ queda absorbido en el intercepto $\beta_0$.

Interpretación de los coeficientes $\hat{\delta}_i$

3.2 Antes de modelar: tres gráficos diagnósticos

Antes de elegir el tipo de modelo estacional —aditivo o multiplicativo, dummies o Fourier— hay tres gráficos que deberías producir siempre. Juntos responden dos preguntas críticas: ¿la amplitud estacional es constante o crece con el nivel de la serie? ¿El patrón se repite fielmente año tras año o evoluciona?

3.3 Ejemplo A — nottem: temperatura mensual de Nottingham

El dataset nottem (base R) registra la temperatura media mensual en grados Fahrenheit en Nottingham Castle, de enero de 1920 a diciembre de 1939 ($n = 240$ observaciones, $s = 12$). No hay tendencia apreciable —el nivel medio es estable a lo largo de 20 años— por lo que el modelo es solo estacional con intercepto:

$Y_t = \mu + \sum_{i=1}^{11} \delta_i I_{i,t} + E_t$

3.3 Estacionalidad con funciones trigonométricas (armónicos)

Las variables dummy tienen una limitación: modelan cada estación de forma independiente, sin asumir suavidad entre períodos adyacentes. Enero puede ser muy diferente de febrero sin que el modelo "sepa" que son meses consecutivos. Cuando el patrón estacional es suave —como una ola que sube en verano y baja en invierno— las funciones trigonométricas (series de Fourier) ofrecen una representación más parsimoniosa:

$S_t = \sum_{j=1}^{k} \left[\alpha_j \sin(2\pi F_j t) + \gamma_j \cos(2\pi F_j t)\right]$

donde $F_j = j/s$ son las frecuencias armónicas y $k \leq \lfloor s/2 \rfloor$ es el número de armónicos a incluir. Cada armónico captura un ciclo a una frecuencia específica. Con $k = 1$ se tiene la onda fundamental (período = s); con $k = 2$ se añade el primer armónico (período = s/2), y así sucesivamente.

El periodograma

El periodograma estima la densidad espectral de potencia en cada frecuencia discreta $\omega_j = j/n$. Para la serie $Y_1, \ldots, Y_n$, el valor en la frecuencia $\omega_j$ es:

$I(\omega_j) = \frac{1}{n}\left[\left(\sum_{t=1}^n Y_t \cos 2\pi\omega_j t\right)^{\!2} + \left(\sum_{t=1}^n Y_t \sin 2\pi\omega_j t\right)^{\!2}\right]$

Un pico en $\omega_j = F_j$ indica que la serie contiene un ciclo de período $1/F_j$ observaciones. En una serie mensual con ciclo anual, el pico dominante aparece en $\omega = 1/12 \approx 0.083$. Frecuencias $2/12, 3/12, \ldots$ son los armónicos superiores del ciclo anual.

3.4 Ejemplo B — USAccDeaths: dummies vs armónicos de Fourier

El dataset USAccDeaths (base R) contiene el número mensual de muertes accidentales en EE.UU. de 1973 a 1978 ($n = 72$, $s = 12$). La serie tiene un pico claro en verano (julio) y un mínimo en invierno. Compararemos dos enfoques para modelar ese patrón: dummies (11 parámetros) y armónicos de Fourier (con solo 3 armónicos = 6 parámetros).

3.5 Comparación: dummies vs trigonométricas

Ambas aproximaciones son equivalentes cuando $k = \lfloor s/2 \rfloor$ (el máximo de armónicos), pero las trigonométricas con pocos armónicos ofrecen mayor parsimonia. La elección depende de la naturaleza del patrón estacional:

| Aspecto | Indicadoras (dummies) | Trigonométricas | |---|---|---| | Número de parámetros | $s - 1$ | $2k$ (con $k \leq \lfloor s/2 \rfloor$) | | Interpretación directa | ✓ Efecto de cada estación en sus unidades | ✗ No directa (amplitud y fase) | | Patrón suave | ✗ Discontinuo por estación | ✓ Continuo y diferenciable | | Cuándo elegir | Patrón irregular, efecto estacional sin suavidad | Patrón en forma de ola, variaciones suaves |