Fundamentos y Descomposición

1.1 Definición de serie de tiempo

Una serie de tiempo es una secuencia de observaciones registradas en momentos equidistantes. La notamos como $Y_t$, donde $t = 1, 2, \ldots, n$ indexa el tiempo. La clave no es solo que los datos estén ordenados: es que la dependencia entre observaciones cercanas encierra información que un modelo bien construido puede aprovechar.

La característica esencial que distingue una serie de tiempo de un conjunto de datos transversal es que las observaciones no son independientes: el valor de ayer contiene información sobre el de hoy, y el de hoy sobre el de mañana. Esta dependencia se mide con la función de autocorrelación (ACF), herramienta que explorarás en los módulos siguientes.

1.2 Componentes clásicas

Antes de ajustar cualquier modelo conviene descomponer la serie en capas interpretables. La idea central es que lo que observas, $Y_t$, es la superposición de fenómenos con naturaleza distinta. Identificarlos por separado permite modelarlos con las herramientas adecuadas.

1.3 Modelos de descomposición

La manera en que se combinan las componentes define el tipo de modelo. Elegir correctamente entre aditivo y multiplicativo no es un detalle menor: afecta la interpretación de cada parámetro y la forma en que se recuperan las predicciones. El primer paso para decidir es siempre graficar la serie y mirar si las oscilaciones estacionales crecen proporcionalmente con el nivel.

Modelo aditivo

Apropiado cuando la variabilidad estacional es constante —las oscilaciones no se amplían aunque la tendencia suba:

$Y_t = T_t + S_t + E_t, \quad E_t \overset{\text{iid}}{\sim} N(0, \sigma^2)$

Aquí $T_t$, $S_t$ y $E_t$ están en las mismas unidades que $Y_t$. Si la serie mide toneladas, la tendencia y la estacionalidad también se interpretan en toneladas.

Modelo completamente multiplicativo

Cuando la amplitud estacional crece proporcionalmente con el nivel de la serie (caso típico: ventas, producción industrial, pasajeros aéreos), el modelo correcto es:

$Y_t = T_t \times S_t \times \exp(\varepsilon_t), \quad \varepsilon_t \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\,\sigma^2)$

El término $\exp(\varepsilon_t)$ es el factor de error multiplicativo: siempre positivo, y con valor neutro exactamente 1 cuando $\varepsilon_t = 0$ (su media). Esto garantiza que $T_t$ y $S_t$ representen el nivel estructural de la serie sin ningún sesgo adicional: cuando no hay perturbación aleatoria, $Y_t = T_t \times S_t$ exactamente.

Tomando logaritmo natural de ambos lados se obtiene directamente un modelo lineal aditivo estándar:

$\ln(Y_t) = \underbrace{\ln(T_t)}_{T_t^*} + \underbrace{\ln(S_t)}_{S_t^*} + \varepsilon_t$

Nótese que el error $\varepsilon_t$ aparece solo —sin transformar— en la ecuación log. No hay ambigüedad: es un error aditivo gaussiano con media cero, exactamente lo que requieren los métodos de regresión lineal. Bajo este modelo, la serie en escala log es $Y_t^* = T_t^* + S_t^* + \varepsilon_t$, y se puede estimar por mínimos cuadrados con todas las herramientas habituales.

Modelo parcialmente multiplicativo

Cuando tendencia y estacionalidad interactúan multiplicativamente pero el error es aditivo:

$Y_t = T_t \times S_t + E_t$

Este modelo es útil cuando la varianza del error es estable pero la amplitud estacional sí escala con la tendencia. Es menos común pero aparece en series de consumo energético y producción agrícola.

1.4 Análisis descriptivo con R

El primer paso de cualquier análisis de series de tiempo es siempre el mismo: graficar. Antes de correr una prueba de hipótesis, antes de estimar un parámetro, antes de elegir un modelo — grafica la serie y déjala hablar. La función decompose() hace eso de manera automática: descompone la serie en sus cuatro componentes usando medias móviles para la tendencia y promedios por período para la estacionalidad.

Hay una serie que ilustra el caso multiplicativo de manera aún más dramática que AirPassengers: las ventas mensuales de licor en Estados Unidos. En los apuntes de la profesora Nelfi González (Figura 3.11, Capítulo 3) puedes ver cómo las oscilaciones de diciembre —el mes pico— se hacen progresivamente más grandes a medida que crece el nivel de ventas. Aplicando log(), la serie se transforma en un patrón aditivo perfectamente tratable con regresión lineal. Ese es el poder de la transformación logarítmica.

1.5 Visualización conceptual

El siguiente diagrama ilustra cómo las componentes se combinan en la serie observada bajo el modelo aditivo $Y_t = T_t + S_t + E_t$. La clave para leer una serie de tiempo es aprender a separar mentalmente estas capas antes de modelar.

1.6 Resumen y conexión con los módulos siguientes

En este módulo estableciste el vocabulario fundamental: serie de tiempo, tendencia, estacionalidad, modelo aditivo vs multiplicativo, y descomposición exploratoria. Estos conceptos son los cimientos sobre los que se construyen todos los modelos del curso.

El camino que seguiremos es siempre el mismo ciclo:

En el Módulo 2 modelarás la tendencia con polinomios y funciones logarítmicas. En el Módulo 3 añadirás la estacionalidad con variables dummy y series de Fourier. En el Módulo 4 ensamblarás el modelo completo, aprenderás a comparar alternativas con AIC/BIC, y aplicarás la corrección de sesgo al predecir en escala original. El diagnóstico de residuos —el paso más importante y el más omitido— lo profundizarás en el Módulo 8.