Pruebas de Hipótesis y Gráficos Diagnósticos

Un modelo de regresión para series de tiempo solo es válido si sus residuos se comportan como ruido blanco gaussiano: $E_t \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\sigma^2)$. Este módulo reúne todas las pruebas formales y gráficos diagnósticos para verificarlo, con ejemplos reproducibles usando datasets de R base.

Configuración inicial — funciones auxiliares y paquetes

8.1 Pruebas sobre los parámetros del modelo

T·01 — Prueba t para βₚ: grado del polinomio de tendencia

Objetivo: Determinar si la potencia más alta $t^p$ contribuye significativamente a la tendencia, o si podría reducirse a grado $p-1$.

Modelo: $Y_t = \beta_0 + \sum_{j=1}^p \beta_j t^j + E_t$, con $E_t \overset{\text{iid}}{\sim} N(0,\sigma^2)$.

Hipótesis:

• $H_0$: $\beta_p = 0$ (el grado $p$ no es necesario)
• $H_1$: $\beta_p \neq 0$ (el grado $p$ es significativo)

$T_0 = \frac{\hat{\beta}_p}{\text{s.e.}(\hat{\beta}_p)} \sim t_{n-k}$

donde $k = p + (\text{n}^\circ \text{ de parámetros estacionales}) + 1$.

Regla de decisión: Si $P(|t_{n-k}| > |T_0|) < \alpha$ (usualmente $\alpha = 0.05$), se rechaza $H_0$ y el grado $p$ se justifica. En caso contrario, reducir a $p - 1$.

T·02 — Prueba t para δᵢ: efectos estacionales con indicadoras

Objetivo: Verificar si la estación $i$ tiene un nivel medio que difiere significativamente de la estación de referencia $s$.

Hipótesis:

• $H_0$: $\delta_i = 0$ (la estación $i$ no difiere de la referencia)
• $H_1$: $\delta_i \neq 0$ (la estación $i$ tiene efecto propio)

$T_0 = \frac{\hat{\delta}_i}{\text{s.e.}(\hat{\delta}_i)} \sim t_{n-k}$

Nota en modelos multiplicativos: La interpretación en escala original usa $\exp(\hat{\delta}_i)$: si $\exp(\hat{\delta}_1) = 0.877$, la estación 1 tiene un nivel 12.3% menor que la de referencia.

T·03 — Prueba t para αⱼ y γⱼ: parámetros trigonométricos

Objetivo: Decidir si la onda senoidal de frecuencia $F_j$ contribuye al patrón estacional.

Hipótesis por parámetro:

• $H_0$: $\alpha_j = 0$ (o $\gamma_j = 0$)
• $H_1$: $\alpha_j \neq 0$ (o $\gamma_j \neq 0$)

Regla de decisión: Si al menos uno de los dos parámetros $\alpha_j$ o $\gamma_j$ es significativo, la onda $j$ debe conservarse. Solo si ambos son no significativos se puede eliminar.

T·04 — Prueba F global (ANOVA): significancia conjunta del modelo

Objetivo: Evaluar si el conjunto completo de predictores explica una proporción significativa de la variabilidad.

Hipótesis:

• $H_0$: $\beta_1 = \cdots = \beta_p = \delta_1 = \cdots = \delta_{s-1} = 0$
• $H_1$: Al menos un coeficiente es $\neq 0$

$F_0 = \frac{MSR}{MSE} = \frac{SCR/(k-1)}{SCE/(n-k)} \sim F_{k-1,\, n-k}$

1data("AirPassengers")
2yt <- AirPassengers; n <- length(yt); t <- 1:n
3poli <- Mipoly(t, 1); mdum <- seasonaldummy(yt)
4mod <- lm(log(as.numeric(yt)) ~ ., data = cbind(poli, mdum))
5sm <- summary(mod)
6cat("F =", round(sm$fstatistic[1], 2), "  gl =", sm$fstatistic[2], "y", sm$fstatistic[3], "
7")
8cat("P-valor =", format.pval(pf(sm$fstatistic[1], sm$fstatistic[2], sm$fstatistic[3], lower.tail=FALSE), digits=4), "
9")
10cat("R² ajustado =", round(sm$adj.r.squared, 4), "
11")
12print(anova(mod))

8.2 Pruebas de normalidad de residuos

T·05a — Shapiro-Wilk

Hipótesis: $H_0$: los residuos $\hat{E}_t$ provienen de una distribución normal. $H_1$: no normalidad.

El estadístico $W \in (0, 1]$: valores cercanos a 1 indican normalidad. Con $n > 5000$ usar Jarque-Bera.

8.3 Pruebas de autocorrelación (independencia)

T·06 — Durbin-Watson: autocorrelación de orden 1

Hipótesis:

• $H_0$: $\rho(1) = 0$ (no autocorrelación de primer orden)
• $H_1$: $\rho(1) \neq 0$ (autocorrelación de primer orden)

$DW = \frac{\sum_{t=2}^n (\hat{E}_t - \hat{E}_{t-1})^2}{\sum_{t=1}^n \hat{E}_t^2} \approx 2(1 - \hat{\rho}(1))$

Rango: $DW \in [0, 4]$. Cerca de 2 → no autocorrelación. DW < 2 → autocorrelación positiva. DW > 2 → negativa.

T·07 — Ljung-Box: autocorrelación hasta el rezago m

Hipótesis:

• $H_0$: $\rho(1) = \rho(2) = \cdots = \rho(m) = 0$
• $H_1$: $\exists\, k \leq m : \rho(k) \neq 0$

$Q_{LB} = n(n+2) \sum_{k=1}^{m} \frac{\hat{\rho}_k^2}{n-k} \sim \chi^2_m \quad \text{(bajo } H_0\text{)}$

Elección de m: Para series estacionales usar $m = 2s$ (dos periodos). Series mensuales → $m = 24$.

8.4 Prueba de homocedasticidad

T·08 — Breusch-Pagan / White: varianza constante

Hipótesis:

• $H_0$: $\text{Var}(E_t) = \sigma^2 \quad \forall\,t$ (homocedasticidad)
• $H_1$: $\text{Var}(E_t)$ depende de los predictores

Breusch-Pagan: regresa $\hat{E}_t^2$ sobre los predictores. El estadístico $BP = nR^2 \sim \chi^2_{k-1}$.

8.5 Prueba de estacionariedad — Dickey-Fuller Aumentada

T·09 — ADF: raíz unitaria

Contexto: Si el modelo no elimina completamente la tendencia, los residuos pueden ser no estacionarios.

Hipótesis:

• $H_0$: $\phi = 1$ (raíz unitaria — no estacionario)
• $H_1$: $|\phi| < 1$ (estacionario)

El modelo aumentado: $\Delta \hat{E}_t = \mu + \phi \hat{E}_{t-1} + \sum_{j=1}^p \gamma_j \Delta \hat{E}_{t-j} + \varepsilon_t$.

8.6 Guía completa de gráficos diagnósticos

Guía de gráficos individuales

• G·01 — Serie observada vs ajustada: La curva ajustada debe seguir el centro de los datos. Desviaciones sistemáticas indican mala especificación.
• G·02 — Residuos vs tiempo: Nube horizontal centrada en cero. Ciclos → autocorrelación. Embudo → heterocedasticidad.
• G·03 — Residuos vs ajustados: Dispersión aleatoria. Curvatura → término cuadrático omitido. Embudo → varianza proporcional al nivel.
• G·04 — Q-Q plot normal: Si los puntos siguen la diagonal, los residuos son normales. Colas pesadas o asimetría indican desviaciones.
• G·05/06 — ACF y PACF de residuos: Ninguna barra debe superar las bandas $\pm 1.96/\sqrt{n}$. Barras en múltiplos de $s$ indican estacionalidad residual.
• G·07 — Boxplots por estación: Si las medianas son distintas de cero para algunas estaciones, el modelo estacional no captura bien esas estaciones.

1data("nottem")
2mod_n <- lm(as.numeric(nottem) ~ seasonaldummy(nottem))
3e_n <- residuals(mod_n)
4esp_n <- spec.pgram(diff(as.numeric(nottem)), taper=0, log="no", plot=FALSE)
5df_esp <- data.frame(freq=esp_n$freq, spec=esp_n$spec)
6g_period <- ggplot(df_esp, aes(x=freq, y=spec)) +
7geom_line(color="#475569", linewidth=0.7) +
8geom_vline(xintercept=(1:6)/12, color="#ef4444", linetype="dashed", alpha=0.8) +
9labs(title="Periodograma — diff(nottem)", x="Frecuencia", y="Potencia") + theme_bw(base_size=12)
10df_bx <- data.frame(resid=e_n, mes=factor(month.abb[cycle(nottem)], levels=month.abb))
11g_box <- ggplot(df_bx, aes(x=mes, y=resid, fill=mes)) +
12geom_boxplot(show.legend=FALSE) + geom_hline(yintercept=0, linetype="dashed", color="#ef4444") +
13labs(title="Residuos por mes", x="Mes", y="Ehat") + theme_bw(base_size=12)
14g_period / g_box

8.7 Tabla de referencia rápida

| Prueba / Gráfico | ¿Cuándo usarla? | Función R | Problema si falla | |---|---|---|---| | t para βₚ | Al decidir grado del polinomio | summary(lm) | Sobreparametrización | | t para δᵢ | Validar cada efecto estacional | summary(lm) | Estacionalidad irrelevante | | t para αⱼ/γⱼ | Validar cada armónico Fj | summary(lm) + anova() | Onda innecesaria | | F global (ANOVA) | Significancia conjunta del modelo | summary(lm)$fstatistic | Modelo inútil | | Shapiro-Wilk | Normalidad (n < 5000) | shapiro.test(resid) | Tests t e IC inválidos | | Jarque-Bera | Normalidad (n grande) | jarque.bera.test(resid) | Asimetría/curtosis excesiva | | Durbin-Watson | Autocorrelación orden 1 | durbinWatsonTest(mod) | DW ≠ 2 → AR(1) residual | | Ljung-Box | Autocorrelación hasta rezago m | Box.test(resid, lag, type) | Estructura temporal no modelada | | Breusch-Pagan | Homocedasticidad | bptest(mod) | Heterocedasticidad → log() | | ADF | Estacionariedad de residuos | adf.test(resid) | Raíz unitaria → modelo incompleto | | G: Serie vs ajust. | Calidad de ajuste visual | ggplot | Desviaciones sistemáticas | | G: Resid vs t | Ciclos, tendencia residual | ggplot | Autocorrelación, heterocedasticidad | | G: Q-Q plot | Normalidad visual | stat_qq() | Colas pesadas, asimetría | | G: ACF/PACF | Estructura de correlación | acf(), pacf() | Modelo insuficiente | | G: Boxplot estac. | Ajuste por estación | ggplot + geom_boxplot | Efecto estacional mal modelado | | G: Periodograma | Identificar frecuencias | spec.pgram(diff(y)) | Omitir frecuencias importantes |

8.8 Datasets y paquetes del curso

Datasets utilizados

| Dataset | Paquete | Frecuencia | Período | Descripción | |---|---|---|---|---| | AirPassengers | datasets | Mensual | 1949–1960 | Pasajeros aéreos EE.UU. (multiplicativo) | | nottem | datasets | Mensual | 1920–1939 | Temperatura Nottingham Castle (estacional puro) | | UKDriverDeaths | datasets | Mensual | 1969–1984 | Muertes en carretera Reino Unido | | USAccDeaths | datasets | Mensual | 1973–1978 | Muertes accidentales EE.UU. | | co2 | datasets | Mensual | 1959–1997 | CO₂ Mauna Loa (tendencia fuerte) | | LakeHuron | datasets | Anual | 1875–1972 | Nivel del Lago Hurón | | sunspot.year | datasets | Anual | 1700–1988 | Manchas solares (ciclos ~11 años) | | taylor | forecast | 30-min | 2000 | Demanda eléctrica (doble estacionalidad) | | gas | forecast | Mensual | 1956–1995 | Producción de gas Australia |

Paquetes de R requeridos

1paquetes_curso <- c(
2"forecast", "tseries", "TSA",
3"lmtest", "car", "skedastic",
4"ggplot2", "patchwork", "viridis",
5"dplyr", "tidyr", "lubridate"
6)
7install.packages(paquetes_curso)
8invisible(lapply(paquetes_curso, library, character.only = TRUE))